不等式證明是考研數(shù)學(xué)證明題專(zhuān)項(xiàng)中一個(gè)很重要同時(shí)也是考查頻率較高的一個(gè)知識(shí)點(diǎn)，同時(shí)也是考生在復(fù)習(xí)過(guò)程中一個(gè)相對(duì)不好下手、不好梳理方法的知識(shí)點(diǎn)；但是對(duì)于該板塊部分整體上只要掌握相應(yīng)的解題方法和技巧，攻克不等式的證明自然不在話下。下面介紹考試過(guò)程中常見(jiàn)的證明方法，希望幫助大家掌握、鞏固不等式證明，在考試中取得不錯(cuò)的成績(jī)。
通過(guò)對(duì)往年不等式證明考試題目的研究，中出現(xiàn)頻率最高的一個(gè)題型為:證明f(x)> g(x)，x∈(a.b)。 針對(duì)這一類(lèi)題目的解題思路:要證明f(x)> g(x), x∈(a,b) ,首先構(gòu)造輔助函數(shù)F(x)= f(x)- g(x),x∈[a,b]，要證f(x)> g(x)，即證F(x)> 0,通常大家可以想到的方法就是先求導(dǎo)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性判斷函數(shù)的最大、最小值，但是在實(shí)際操作的過(guò)程中會(huì)發(fā)現(xiàn)以上做法會(huì)存在-定得難度;而通過(guò)對(duì)往年試題的研究發(fā)現(xiàn)，實(shí)際考查的過(guò)程中，都會(huì)出現(xiàn)兩種比較特殊的情況F(a)或F(b)會(huì)有一個(gè)等于零。不妨設(shè)F(a)=0,此時(shí)只需證明F(x)在[a,b]上單調(diào)遞增，即F"(x)>0，x∈(a,b);同理，若F(b)=0, 此時(shí)只需說(shuō)明F(x)在[a.b]上單調(diào)遞減，即F"(x)<0，x∈(a.b)。 當(dāng)然到這里大家也或有一定的疑問(wèn)，萬(wàn)-兩個(gè)端點(diǎn)值F(a)或F(b)均為0或均不為0呢?針對(duì)這兩種情況，若F(a)=0，F(xiàn)(b)=0， 證明.
函數(shù)在區(qū)間上是凸函數(shù)即可;而若F(a)≠0且F(b)≠0,則在(a,b)的開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少存在-點(diǎn)c，使得F(c)=0,則此時(shí)只需要證明函數(shù)在(a.c)和(c, b)兩個(gè)區(qū)間上的單調(diào)性即可。最后，關(guān)于函數(shù)不等式的證明具體思路總結(jié)如下:
對(duì)于f(x)> g(x). x∈(a.b)構(gòu)造輔助函數(shù)，令F(x)= f(x)-g(x).x∈(a.b)，然后計(jì)算F(a)及F(b);
若F(a)=0,只需證明F"(x)>0;
若F(b)=0,只需證明F'(x)<0;
若F(a)=0，F(xiàn)(b)=0, 證明函數(shù)在區(qū)間上是凸函數(shù)即可。
相信大家通過(guò)對(duì).上述方法的學(xué)習(xí)，對(duì)于不等式證明這-部分的內(nèi)容也有 了新的認(rèn)識(shí)，有了更加高效的解題方法。
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