桂林理工大學2020年碩士研究生入學考試試題（A卷）
考試科目代碼：874
考試科目名稱：概率統計
（總分150分，三小時答完）
考生注意：1．請將答題寫在答卷紙上，寫在試卷上視為無效。
2．考試需帶 用具
一 、填空題（本大題共9小題，每小題5分，共45分）
1．有兩個袋子，每個袋子都裝有只黑球，只白球。從第一個袋子中任取1只球放入第二個袋子中，充分混合后再從第二個袋子中任意取出1只球。則從第二個袋子中取得的是黑球的概率 。（注：每個袋子中的球只有顏色差別，其它特征均相同）
2．已知，，，則 。
3．已知為連續型隨機變量，概率密度函數為，為的分布函數，為的數學期望，則概率 。
4．已知隨機變量的概率密度函數為，其中參數，。則常數 ；的期望 。
5．設隨機變量，且與相互獨立。則 。
6．設隨機變量服從均勻分布，，則的概率密度函數 。
7．某廠要從供應商處購進元件，雙方協商的驗貨規則是：每批貨隨機地抽取5只進行檢驗，若抽檢的5只中的不合格品數不超過1，則該廠應接收這批貨，其它情況則作退貨處理。若一批元件中有20%的為不合格品，則該廠接收這批貨的概率為 。（結果保留4位小數）
8．某人向同一目標獨立重復射擊，每次射擊命中目標的概率為p (0<p<1)，則此人第四次射擊恰好第二次命中目標的概率為 。
9．已知總體，是來自總體的簡單隨機樣本。若統計量服從的分布為，則常數 。
二、計算解答題（本大題共9小題，共105分）
1（本小題11分）．某城市的K1和K2兩路公交車相互獨立地開行，都經過站點A后開往同一終點站B。已知K1路公交車每隔5分鐘、K2路公交車每隔6分鐘經過站點A。某乘客在任意時刻到達站點A乘坐K1或K2路公交車去往終點站B。試計算該乘客在站點A的候車時間不超過4分鐘的概率。
2（本小題12分）．設隨機變量的絕對值不大于1，，，在事件“”出現的條件下，在區間內的任一子區間上取值的概率與該子區間的長度成正比。求：（I）的分布函數；（II）取負值的概率；（III）的期望。
3（本小題10分）．加工某種零件需要經過兩道工序。第一道工序出現一等品的概率為0.9，出現二等品的概率為0.1；第一道工序加工完成后的一等品，在第二道工序中出現一等品的概率為0.8、出現二等品的概率為0.2；第一道工序加工完成后的二等品，在第二道工序中出現二等品或出現廢品的概率都是0.5。分別求經過兩道工序加工完成后的零件是一等品、二等品、廢品的概率。
4（本小題10分）．設二維隨機向量服從正方形區域上的均勻分布，求的概率密度函數。
5（本小題15分）．設隨機變量的概率密度函數為。（I）確定常數；（II）判斷的相互獨立性；（III）求期望。
6（本小題10分）．設二維隨機向量的概率密度函數為求與的協方差和相關系數。
7（本小題10分）．某種元件的壽命?。ㄒ孕r為單位）服從正態分布，，均未知?，F抽取16個這種元件，測得樣本均值為241.5小時，樣本標準差為98.73小時。請問在0.05的顯著性水平之下，是否有充分理由認為元件的平均壽命大于225小時？（已知-分布的上側分位數，，，）
8（本小題12分）．對一批LED燈泡進行使用壽命的檢驗，隨機抽取100只組成抽檢樣本，測得此樣本的平均壽命為2000小時、標準差為50小時。（I）在95.45%的置信水平下，估計這批燈泡的平均壽命的置信區間；（II）如果取置信區間的長度等于30，即最大容許誤差為15小時，此時這個區間估計的置信度是多少（置信度用百分數表示，結果保留2位小數）？（已知標準正態分布的上側分位數；標準正態分布的分布函數值）。
9（本小題15分）．設總體的概率密度函數為其中和均為未知參數且，。已知為來自該總體的簡單隨機樣本。求：（I）參數、的最大似然估計量；（II）參數、的矩估計量。
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原文標題：2020年考研真題
原文鏈接：https://yjsy.glut.edu.cn/info/1189/4400.htm
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